精品解析：上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

上海南汇中学2023学年第一学期期中考试 高一数学 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 集合的真子集的个数为_________ 2 设全集，集合，则___________. 3. 若集合，，则_________. 4. 不等式的解集为______. 5. 已知实数且，，则___________ 6. 已知，则的最小值是______. 7. 关于的不等式的解集为，则___________. 8. 已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数m的取值范围是___________. 9. 已知关于的方程的两个实根为、，，则实数_______. 10. 已知关于x不等式的解集为R，则实数m的取值范围是___________. 11. 若不等式组的解集为M，且中有2023个元素，则实数k的取值范围是___________. 12. 非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________. （1） （2） （3）若，，则 （4）若，、则 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设 A. B. C. 且 D. 或 14. 有四个命题：①；②，；③；④．其中正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 16. 已知，集合，且，则不可能的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 64 三、解答题（共5题，总计52分） 17. 设，试比较与的大小. 18. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）若且，求实数a的取值范围. 19. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 20. 设在二维平面上有两个点，，它们之间距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离. （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果，那么x的取值范围是多少？ （2）已知A，B两个点坐标为，，如果，那么x的取值范围是多少？ （3）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少？ 21. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海南汇中学2023学年第一学期期中考试 高一数学 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 集合的真子集的个数为_________ 【答案】3 【解析】 【分析】由真子集的定义，将集合的真子集列举出来即可. 【详解】集合的真子集有， 共3个，故答案为3. 【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集. 2. 设全集，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 3. 若集合，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】解方程组即可得出的元素，从而得出． 【详解】解，得， ． 故答案为： 4. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式，转化为不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，不等式，等价于，即，解得， 即不等式解集为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知实数且，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分数指数幂的运算法则即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故答案：. 6. 已知，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化为，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 在时，最小值为. 故答案为：. 7. 关于的不等式的解集为，则____