平面向量的概念 讲义-2024届高三数学一轮复习

课题：平面向量的概念 知识点 一、平面向量的相关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 二 、共线向量定理 向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．,向量概念的4点注意 （1）注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0． （2）单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同． （3）零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性． 比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行． （4）任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 【注1】向量线性运算的3点提醒 （1）两个向量的和仍然是一个向量． （2）利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点． （3）当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 【注2】向量有关概念的关键点 （1）向量定义的关键是方向和长度． （2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． （3）相等向量的关键是方向相同且长度相等． （4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度． （5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． 【注3】 （1）两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． （2）零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． （3）几个重要结论 ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 典型例题 例1下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 例2给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b． 其中正确命题的序号是（　　） A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 例3（多选）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ） A．若为平面内的某个向量，则 B．若与平行，则 C．若与平行且，则 D．若为单位向量，则 例4给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0（λ为实数），则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误的命题的个数为（　　） A．0　　　　　　　　　B．1　　　 　C．2　　　　 D．3 例5（多选）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 例6给出下列命题： ①的充要条件是且； ②若向量与同向，且，则； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 举一反三 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线． 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1　　　 B．2 C．3 D．4 3．下列说法错误的是（