2.2 基本不等式 同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．当时，的最大值是（    ） A．-8 B．-6 C．8 D．10 2．若，则取最小值时的是（ ） A．8 B．3 或 C． D．3 3．已知，且，则的最小值是（    ） A．10 B．15 C．16 D．18 4．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为（    ）年. A．5 B．6 C．7 D．8 5．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为64 C．的最小值为128 D．的最小值为 10．已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．函数的最小值为1 D．有最大位 11．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（    ） A． B． C．5 D．3 12．下列命题中真命题的有（    ） A．若a，b，，且，则 B．若，则的最小值为2 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件. 15．若直角三角形斜边长等于4，则该直角三角形面积的最大值为 . 16．一批货物随17列火车从A市均以千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米.为了安全，每两列火车的间距不得小于千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时，此时速度为 千米/时. 四、解答题 17．已知. (1)当时，求的最大值； (2)当时，求： ①的最小值 ②的最小值. 18．如图，现将正方形区域规划为居民休闲广场，八边形位于正方形的正中心，计划将正方形WUZV设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形，上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中的长度最多能达到40米. (1)设总造价为（单位：百元），长为（单位：米），试用表示； (2)试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？ （参考数据：取，结果保留整数） 19．已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的范围； (2)若关于的不等式在有解，求实数k的取值范围. 20．（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 21．第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完．每万台的年销售收入t（万元）与年产量x（万台）满足关系式：，年利润为y（万元），求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据题意可将构造为形式，然后利用基本不等式从而求解. 【详解】由题意得：令，因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以； 故最大值为：. 故选：B. 2．D 【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求得答案. 【详解】由题意，则， 当且仅当，即时取等号， 即取最小值时的是3， 故选：D 3．D 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 4．C 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为，， 由于，，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故选：C 5．C 【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可.