第13章 轴对称——等腰三角形常见辅助线 训练 2023——2024学年人教版数学八年级上册

等腰三角形常见辅助线 题型一：等腰三角形+中点 1．在等腰中，，O为的中点． (1)如图1，过O点作于D，于E，求证：； (2)如图2，若M，N分别为，上的点，且，求证：． 2．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 3．如图在中，，为的中点，分别是，边上的点，且．判断的关系，写出证明过程．    题型二：等腰三角形+垂线 4．如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 5．如图，在中，，点关于直线的对称点为点，点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上（不与、两点重合），且．    (1)证明：； (2)连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 题型三：等腰三角形+作平行线 6．如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 7．（1）在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．连接，求证：点是的中点． （2）在上述条件不变的情况下，若，，则______．    题型四：等腰三角形手拉手（平行线+截长补短） 8．如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，连接． (1)求证：； (2)求证：． (3)判断的形状，并说明理由． 9．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE=FC； 【类比探究】 （1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF=CD； （2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论． 题型五：等腰三角形动点问题 10．如图，点P，点Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．    (1)如图①，连接，交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的大小． (2)设点P的运动时间为，当是直角三角形时，求t的值； (3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交于点M，请直接写出的大小，不需要说明理由． 11．已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点A出发，沿线段向点运动，运动时间为． (1)如图1，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点、分别以和的速度同时出发，设运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？ (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点、都以的速度同时出发，请你猜想：在点、的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由等腰三角形三线合一得到平分，再由角平分线的性质即可得到结论； （2）连接，证明,即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵，O为中点， ∴平分， ∵， ∴； （2）证明：连接， ∵，O为中点， ∴，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 即 在△AOM和△CON中 ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 2．(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可； （3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）明∶ 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：能成为等腰三角形， ①当，点E在的延长线上时，则， 又∵， ∴； ②当，点E在上时，则； ③当时，则， ∴； ④当，点E和C重合， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或． 【点睛】本