4.1 数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念 选修第二册 《第四章 数列》 ①王芳从1岁到17岁每年生日时测的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168 思考1：每一列数中，各个数之间能否交换位置？ 记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168. ②在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240 记第i天月亮可见部分的数为ai，则a1＝5，a2＝10，a3＝20，…，a15＝240. ③的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，…… 1.数列的概念 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 (2)数列{an}的一般形式：a1，a2，a3，…，an，… ①数列第一个位置的数叫做首项，记为a1 ②an表示数列{an}的第n项 ③数列可用{an}、{bn}、{cn}等表示 如：记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168. 2.数列与函数的关系 思考2：数列{an}中的每一项an与各项序号n(n＝1，2，3，…)之间有怎样的对应关系？ 序号 项 正整数集 实数集 (或它的有限子集{1,2,…,n}) 记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168. (3)数列{an}是从正整数集N*(或其有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数。 自变量是序号n，对于的函数值是数列的第n项an，记作an=f(n). 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数. 3.数列的分类 (4)按项的个数分类 (5)按项的变化趋势(数列的单调性)分类 有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数列 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项 常 数 列：各项都相等的数列 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 如：2，4，6，8，10，… 如：2，3，2，5，2，7，… 如：1，，，，，… 如：1，1，1，1，… 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0) 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0) 运用：数列的单调性 练习：数列的单调性 4.数列的表示 75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168 列举： 表格： 图象： 通项公式： 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的关系式叫做这个数列的通项公式. 通项公式就是数列的函数解析式. 以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，数列的图象是由一些孤立的点构成的. 由数列的通项公式，写出数列的各项. 由数列的前若干项的值，写出数列的一个通项公式. 由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式. 由数列的递推公式，写出数列的各项，猜想数列的通项公式 由数列的前n项和公式，求数列的通项公式. 要 点 速 览 运用1：由数列的通项公式，写出数列的各项 [例1]根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. n 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 n 1 2 3 4 5 1 0 -1 0 1 运用2：由数列的前若干项，写出数列的一个通项公式 [例2]根据下列数列的前4项或前5项，写出数列的一个通项公式. 常用(-1)n或(-1)n+1来表示各项正负相间的变化规律 一些数列的通项公式不是唯一的. 不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 ， ， ， ， ． 运用3：由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式 [例4]图中的谢尔宾斯基三角形中，着色的三角形个数依次构成一个数列的前4项， 写出这个数列的一个通项公式. 着色三角形个数 1 3 9 27 ×3 ×3 ×3 (n≥2) 数列的递推公式： 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. 5.数列的递推公式 形如an=3an－1这样，相邻两项或多项之间的关系式叫做这个数列的通项公式。 递推公式 通项公式 项与序号之间的关系： 相邻几项之间的关系： （n≥2） 知道首项(或前几项)和递推公式，就能求出数列的每一项. 运用3：由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式 P8-1. 写出各组图的点数