微专题01 求数列通项的方法（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第四章 数列》 微专题01 求数列通项的方法 1 求数列通项公式的常见类型(通项公式an中默认n∈N*) 1.根据数列的前n项,归纳猜想数列的一个通项公式，并证明. 2.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式 3.利用数列的前n项和Sn和an的关系. 4.已知数列的首项(若干项)和递推公式，求数列的通项公式. 常用累加法、累乘法、构造特殊数列法(取倒数法、待定系数法) 注：常用(-1)n或(-1)n+1来表示 各项正负相间的变化规律. 1.由前几项归纳猜想通项公式 2.公式法 已知等差/等比数列，由条件构造求解关于a1和d或a1和q的方程组. 公式 性质 d>0 等比数列递增:a1,q>0 3.利用Sn和an的关系 Sn =a1+a2+...+an－1+an(n≥1) Sn－1 =a1+a2+...+an－1(n≥2) an=Sn－Sn－1 (n≥2) 3.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn =n2+2n－1, 求{an}的通项公式. 3.利用Sn和an的关系 [变式]已知数列{an}的前n项和Sn =n2+n, 求数列{an}的通项公式. 3.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn =n2+2n－1, 求{an}的通项公式. 易错点：Sn-1代错；漏写n≥2；n=1时无检验 ①知Sn求an an+1=Sn+1-Sn同样要检验 3.利用Sn和an的关系 3.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn , 满足a1 =1, an =﹣SnSn－1(n≥2,n∈N*) , 求{an}的通项公式. ②由Sn的递推式求Sn，再求an 3.利用Sn和an的关系 ③条件迭代相减得an的递推式，再求an 3.利用Sn和an的关系 (法1) 与an=4an－1(n≥2)区分 ③条件迭代相减得an的递推式，进而求an 3.利用Sn和an的关系 (法2) ②由Sn的递推式求Sn，进而求an 3.利用Sn和an的关系 “利用Sn和an的关系”方法小结 ①知Sn求an(两段式)； ②由Sn的递推式求Sn，再求an ③条件迭代相减得an的递推式，再求an an=Sn－Sn－1 (n≥2) an =﹣SnSn－1(n≥2) Sn =nan+1+n(n+1) 4.由递推式求通项 ——①累加法 等差数列 求和 等比数列 求和 an+1-an=f (n)型 4.由递推式求通项 首项为1, 公差为2的等差数列的前n－1项求和 ——①累加法 1=2×1－1 3=2×2－1 …… 2n－3=2×(n－1)－1 an+1-an=f (n)型 4.由递推式求通项 裂项相消法求和 ——①累加法 an+1-an=f (n)型 对称剩项 方法归纳 数列求和 4.由递推式求通项 ——②累乘法 =f(n)型 隔项相消 对称剩项 4.由递推式求通项 ——②累乘法 =f(n)型 4.由递推式求通项 ——③奇偶分析法 an+1+an=f (n)型 4.由递推式求通项 ——③奇偶分析法 an+1·an=f (n)型 ①an+1+an=f (n)型：累加法 ③an+1+an=f (n)型：奇偶分析法 ④an+1·an=f (n)型：奇偶分析法 由an的递推式求通项的类型与方法 ②=f (n)型：累乘法 课后同步练习1 1.已知数列{an}的前n项和Sn =3·2n, 求{an}的通项公式. 1.已知数列{an}的前n项和Sn =3·2n, 求数列{an}的通项公式. (法1) (法2) 隔项相消 对称剩项 3.由递推式求通项 ——⑤待定系数法构造特殊数列 方法归纳：待定系数法构造特殊数列 (1)形如an+1=pan+q(p≠1,0)：如例4 存在t∈R, 使an+1+t =c(an+t)→整理求t→得数列{an+t}是等比数列 →求an+t→求an (2)形如an+1=pan+kn+b(p≠1,pk≠0)：如例5 存在k,b∈R, 使an+1+k(n+1)+b =c(an+kn+b)→整理求k,b →得{an+kn+b}是等比数列→求an+t→求an (3)形如an+1=pan+qn(p,q≠1, pq≠0)：如例6 注：p=q时只能用法2；p≠q时可用法1或法2 方法归纳：待定系数法构造特殊数列 (4)形如an+2=pan+1+qan(c≠0,c≠1)：如例8 存在r∈R，使an+2+μan+1 =λ(an+1+μan)→整理求λ,μ→得{an+1+μan}是等比 →求an+1+ran→求an 可构造an+1+g(n+1) =c[an+g(n)]，其中g(n)与f(n)是同类型函数，可得 {an+g(n)}是等比数列，求出an+g(n)，从