4.3.1 等比数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册第四章《数列》 4.3.1等比数列的概念 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 实例1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ① ② ③ 实例2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： ④ 实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是： 2，4，8，16，32，64，…   ⑤ 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 n 次 …… 分裂次数 8 实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ ① ② ③ ④ 2，4，8，16，32，64，…    ⑤ a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 新知1.等比数列的概念 若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列； 这个常数叫做公比，记为q(q≠0). 注：①等比数列的每一项和公比都不为0. 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列； 非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. 巩固：等比数列的概念 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… (7) 1,a,a2,a4,a8,… a≠0时，是等比数列，公比为a a=0时，不是等比数列 所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号 等比数列的通项公式的推导 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法得an=a1qn-1 等比数列的通项公式的推导 类比 累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2 新知2.等比数列的通项公式 等比数列的通项公式： 巩固：等比数列的通项公式 新知3.等比中项的定义 注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数； ②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab； 而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比. ③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项 an+1的等比中项. 巩固：等比中项的定义 4 ±24 ±4 (同课本P29-例1) 巩固：等比中项的定义 巩固：等比中项的定义 课本P31-3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 对比小结 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 累乘法 不完全归纳法 定义式 公差公比 公差d可正、可负、可为零 公差d可正、可负、不可为零 通项公式 等差/比中项 特殊设项求解等比数列 特殊设项求解等比数列 课本P30-例3.数列{an}共5项, 前3项成等比数列, 后3项成等差数列, 第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132, 求这个数列. 特殊设项求解等比数列 5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 小结1：特殊设项求解等比数列(对称设项) 1.与等差数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d, a, a+d或a, a+d, a+2d (2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d, a－d, a+d, a+2d 2.与等比数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等比数列，可设为, a, aq或a, aq, aq2 (2)如果是四个