4.2.1 等差数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第四章 数列》 4.2.1等差数列的概念 等差数列的判定方法 等差数列的定义 等差数列的性质 等差数列的通项公式 等差中项的定义与性质 要点速览 【情景1】北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 【情景4】 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，若个人贷款月利率为r，则按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=)万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为： 等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。 好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。 缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。 比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。 ar, ar－br, ar－2br, ar－3br, ... ar, (a－b)r, (a－2b)r, (a－3b)r, ... 利息=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率 思考：以下4组数列有什么共同的取值规律？ 【情景1】9，18，27，36，45，54，63，72，81 【情景2】34，36，38，40，42，44，46，48 【情景3】25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 【情景4】ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，... 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 等差数列的定义： 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列. ①这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. d =a2－a1=a3－a2=…=an－an-1(n≥2) 新知1.等差数列和公差的定义 公差d=9 公差d=2 公差d=﹣0.6 公差d=﹣br ②等差数列的递推公式：an－an－1 = d (n≥2) 推导：等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d， 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: an＝____________. a1＋(n－1)d 即a2＝a1＋d； 即a3＝a2＋d＝a1＋2d； 即a4＝a3＋d＝a1＋3d； 即an＝a1＋(n－1)d； 将各式累加得，等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d. 不完全归纳法 累加法 新知2.等差数列的通项公式 ①4个量an、a1、n、d，可“知三求一”． ②d≠0时，an=dn+(a1－d)可看成an关于n的一次函数(形式: an=kn+b)． d>0时，{an}是递增数列； d<0时，{an}是递减数列； d=0时，{an}是常数列. 点(n,an)分布在直线f(x)=dx+(a1－d)上． 等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d n的系数就是公差d 巩固运用：等差数列的概念和通项公式 an=dn+(a1－d)： n的系数即为公差d 3 -2 巩固运用：等差数列的概念和通项公式 新知2：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d 推论：an=am+(n－m)d, n≠m 【求公差的方法】 (两项差除以下标差) 巩固运用：求等差数列的通项公式 设基本量法(方程组法) 巩固运用：求等差数列的通项公式 构造等差数列法 新知3：等差中项的定义和性质 等差数列a,A,b中，a与b的等差中项是A=. 巩固运用：等差中项的定义和性质 巩固运用：等差中项的定义和性质 新知4：等差数列的判定方法 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： 用于证明 巩固运用：等差数列的判定方法 是 否 否 巩固运用：等差数列的判定方法 巩固运用：等差数列的判定方法 新知5：等差数列的性质 巩固运用：等差数列的性质 35 6 探究与猜想：等差数列的性质 探究：对于等差数列: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,…说出a4是哪两项的等差中项？ 观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论. 证明：证明上述猜想。 新知5：等差数列的性质 如：a2+a8＝2a5 如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7 误区1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22 (×)