第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

3．2　双曲线 3．2.1　双曲线及其标准方程 [学习目标]　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．　2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 知识点一　双曲线的定义 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|－|PB||＜|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹． 如图，在|PA|＋|PB|＞|F1F2|＞|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 提示：　如题图，曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数． 双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0＜2a＜|F1F2|)． (3)焦点：两个定点F1，F2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. [微提醒]　(1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 如图，已知动圆M与两个定圆⊙O1和⊙O2分别外切(⊙O1、⊙O2外离)，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？ 解析：　设圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，动圆M的半径为r，因为动圆M与两个定圆⊙O1和⊙O2分别外切，故|MO1|＝r＋R1，|MO2|＝r＋R2， 若R1＝R2，则|MO1|＝|MO2|，故M的轨迹为O1O2的中垂线．若R1＞R2，则0＜|MO1|－|MO2|＝R1－R2＜|O1O2|，故M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的右支．若R2＞R1，则0＜|MO2|－|MO1|＝R2－R1＜|O1O2|，故M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支． 方法技巧 　　判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件． 即时练1.已知F1(－3，0)，F2(3，0)，若点P(x，y)满足||－||＝6，则P点的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线 D　[已知F1(－3，0)，F2(3，0)，点P(x，y)满足||－||＝6，且|F1F2|＝6，即||－||＝||，可知点P(x，y)在线段F1F2的延长线上，故P的轨迹为一条射线．故选D．] 学生用书第88页 即时练2.已知点P(x，y)的坐标满足－＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 B　[点P(x，y)的坐标满足－＝4，即动点P(x，y)到定点F2(3，0)的距离减去到F1(－3，0)的距离，差等于4，即|PF2|－|PF1|＝4，且4＜|F1F2| ，故动点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．] 知识点二　双曲线的标准方程 请回答以下问题： 1．类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示：　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c＞0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，|PF2|＝，所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)·x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得－＝1(a＞0，b＞0)． 2．设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示：　－＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c