第三章 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 [学习目标]　1.了解椭圆在实际生活中的应用．　2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 知识点一　点、直线与椭圆的位置关系 1．类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？ 提示：　将点的坐标带入椭圆的方程，看满足的不等关系． 2．类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？ 提示：　联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数． 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋＜1；点P在椭圆外部⇔＋＞1. 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ＞0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． [微提醒]　设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 学生用书第84页 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 解析：　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ＞0，得－3＜m＜3. 于是，当－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ＜0，得m＜－3或m＞3. 从而当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 方法技巧 判断直线与椭圆的位置关系的方法 即时练1.当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件： (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？ 解析：　由消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144， 整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＜0时，得m＜－5或m＞5，此时直线l与椭圆无公共点； (2)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (3)当Δ＞0时，得－5＜m＜5，此时直线l与椭圆有两个公共点． 知识点二　弦长及弦中点问题 请回答以下问题： 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，如何求|AB|? 提示：　利用弦长公式来解决，弦长公式在上一章里也学到过． 2．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 提示：　将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得 ＋＝0， 记弦AB的中点为M(x0，y0)． 若x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－. 1．弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝ ＝ ＝． 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 学生用书第85页 2.椭圆中点弦的斜率公式 若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－. [记结论]　椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦． 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点． (1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； (2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 解析：　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)， 即y＝x，由 消去y可得x2－18＝0， 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝ ＝ ＝ ＝×6＝3. 所以线段AB的长度为3.