第三章 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

3．1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．　2.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 知识点　椭圆的简单几何性质 观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示：　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 1．椭圆的几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 学生用书第81页 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a　短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) 2.离心率的作用 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1.e越接近1，c越接近a，b＝就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆． [微提醒]　椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等． [记结论]　(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)利用方程研究曲线对称性的方法如下： ①若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ②若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称； ③若同时把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称． 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解析：　把已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)． (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) (2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________________． 解析：　(1)由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D． (2)由已知，得焦点在x轴上，且所以所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：　(1)D　(2)＋＝1 方法技巧 　　解决求椭圆的简单几何性质这类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质． 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法． 即时练1.已知椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋x2＝1 D．＋x2＝1 A　[直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，即c＝4.又椭圆的离心率为，所以＝，故a＝，所以b2＝a2－c2＝－16＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.故选A．] 即时练2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．x2＋＝1 A　[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.故选A．] 学生用书第82页 即时练3.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解析：　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10