第三章 3.1.1 椭圆及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第三章　圆锥曲线的方程　[教师用书] 3．1　椭圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 [学习目标]　1.理解并掌握椭圆的定义．　2.掌握椭圆的标准方程的推导．　3.会求简单的椭圆的标准方程． 知识点一　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 椭圆的定义 (1)定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． (2)焦点：两个定点F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a＞|F1F2|. [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． [记结论]　2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 (多选)下列说法中正确的是(　　) A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 AC　[对于A，因为|F1F2|＝8，所以平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确；对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误；对于C，点M(5，3)到F1，F2的距离之和为＋＝4＞|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确；对于D，轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误．故选AC.] 学生用书第78页 方法技巧 　　在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件． 即时练1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，则下列说法中正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 AC　[对A，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；对BC，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，故B错误，C正确；对D，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC.] 知识点二　椭圆的标准方程 请回答以下问题： 1．观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝， |MF2|＝， 所以＋＝2a.① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.② 对方程②两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＋＝1，⑤由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0. 令b＝，那么方程⑤　就是＋＝1(a＞b＞0)⑥.我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程． 2．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，