第三章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．对圆锥曲线定义的理解是学科素养中的数学抽象． 体现一　圆锥曲线的定义 1．(1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 (2)若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是____________________． 解析：　(1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C． (2)若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)；反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)，则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在．故选B． (3) |PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝c2－a2＝16，故动点P的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 答案：　 (1)C　 (2)B　(3) －＝1(x≥3) 素养二　数学运算 数学运算是解决数学问题的基本手段，能让学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．本章中圆锥曲线标准方程求解、几何性质的研究、弦长及中点弦问题都是数学运算问题． 体现二　圆锥曲线的标准方程 2．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)(2021·北京卷)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 (3)抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，则此抛物线的方程为(　　) 学生用书第108页 A．x2＝－16y B．x2＝8y C．x2＝16y或x2＝－8y D．x2＝8y或x2＝－16y 解析：　(1)因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.故选A． (2)因为e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的方程为x2－＝1.故选A． (3)将y＝mx2(m≠0)化为x2＝y，其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.故选D． 答案：　(1)A　(2)A　(3)D 体现三　圆锥曲线的几何性质 3．(1)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________； (2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2·＋2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为________； (3)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上，则抛物线E的标准方程为________． 解析：　(1)因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因为|MF|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. (2)因为A(－a，0)，B(0，b)，M，F(c，0)，所以＝，＝，＝(c，－b)，又2·＋2≥0，所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，结合0＜e＜1，得0＜e≤－1. (3)依题意知，|OB|＝8，∠BOy＝30°．设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(4，12)在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故拋物线E的标准方程为x2＝4y. 答案：　(1)5　4　(2)(0，－1]　　(3)x2＝4y 体现四　弦长及中点弦问题 4．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(－2，0)， F2(2，0)，且离心率e＝. (1)求椭圆的方程； (2)求以点P(2，－1)为中点的弦所在的直线方程．