第三章 培优微课5 圆锥曲线中的“定”问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

圆锥曲线中的“定”问题常有以下3类题型： 题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值，这种方法可简记为：一选(选好参变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值)． 题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点． 定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明；二是把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程． 类型1　定值问题 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且过三点R1，R2，R3中的两点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E的右焦点F的直线l交椭圆于M，N(M，N不在x轴上)两点，A为椭圆的左顶点，记AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值． 解析：　(1)由题意易得b＝， 由椭圆的对称性可得过两点R1，R2，即＋＝1，解得a2＝4， 所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)证明：由(1)可得c＝1，右焦点为F(1，0)．当直线l的斜率不存在时，由(1)得M，N，A(－2，0)， 可得k1＝，k2＝－，所以k1k2＝－. 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，显然k≠0，过点(1，0)， 则直线l的方程为y＝k(x－1)， 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入方程＋＝1， 并化简得：(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 可得：x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以k1k2＝·＝＝ ＝k2＝－. 综上，k1k2＝－. 学生用书第105页 类型2　定点问题 已知动点P到直线l：x＝－2的距离比到定点F(1，0)的距离多1. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若A为(1)中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标． 解析：　(1)设P(x，y)， 因为P到直线l：x＝－2的距离比到定点F(1，0)的距离多1， 所以有|x－(－2)|－＝1， 当x≥－2时，化简为x＋2－＝1⇒＝x＋1⇒y2＝4x≥0⇒x≥0，显然满足x≥－2； 当x＜－2时，化简为－x－2－＝1⇒＝－x－3⇒y2＝8x＋8≥0⇒x≥－1，显然不满足x＜－2， 综上所述：动点P的轨迹E的方程为y2＝4x. (2)证明：设A(a2，2a)，由题意可知C(－2，2a)， 因此kOC＝＝－a，所以直线OC的方程为y＝－ax， 当a＝0时，直线OC与曲线E只有一个交点，不符合题意， 于是直线OC的方程与曲线E的方程联立，得 ⇒，或，即B， 当＝a2时，即a2＝2时，直线AB的方程为x＝2； 当≠a2时，即a2≠2且a≠0时， kAB＝＝， 直线AB的方程为：y－2a＝(x－a2)⇒a2y－2a(x－2)－2y＝0， 因为a∈R，所以有⇒，因此直线AB过定点(2，0)， 显然直线x＝2也过点(2，0)． 综上所述，直线AB过定点(2，0)． 类型3　定直线问题 设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上． (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 解析：　(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：设P(x，y)，Q(0，y1)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，＝(x＋c，y)，＝(c，y1)，于是·＝c(x＋c)＋y1y＝0　①.F2、P、Q三点共线，所以＝，即y1＝　②，将②代入①，可得c(x＋c)－＝0，即x2－y2－c2＝0，又因为＋＝1　③，于是x＝a2，y＝1－a2，即点P在直线x＋y－1＝0上． 1．动点M与定点A(1，0)的距离和M到定直线x＝9的距离之比是常数. (1)求动点M的轨迹G的方程； (2)设O为原点，点B(－3，0)，过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴