第三章 培优微课4 离心率的计算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的常见策略主要有： ①通过已知条件列出方程组，解出a，c的值； ②由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)； ③由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程； ④通过特殊值或特殊位置求离心率； ⑤在焦点三角形内求离心率． 类型1　利用定义(焦点三角形)求离心率 以F1和F2为焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 解析：　法一：如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°．易知△AF1F2为直角三角形， 则|AF1|＝|F1F2|＝c， |AF2|＝c，所以2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝＋1. 法二：如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°， 于是离心率e＝＝＝＝＝＋1. 答案：　＋1 类型2　几何法求离心率 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． 解析：　如图所示，由＝，得|F1A|＝|AB|，又|OF1|＝|OF2|，所以OA是△F1F2B的中位线，即BF2∥OA，|BF2|＝2|OA|. 由·＝0，得F1B⊥F2B，所以OA⊥F1A，|OB|＝|OF1|＝|OF2|，所以∠BOF2＝∠BF2O，∠OBF1＝∠OF1B，∠AOB＝∠AOF1.又OA与OB所在直线都是双曲线的渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，则∠BOF2＝60°．所以渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，所以该双曲线的离心率为e＝＝＝ ＝2. 答案：　2 类型3　寻求齐次方程求离心率 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________． 解析：　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝. 因为0＜e＜1，所以e＝. 答案：　 类型4　求离心率的取值范围 椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝120°，求椭圆的离心率的范围． 解析：　在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，由余弦定理得cos θ＝＝＝－1 ≥－1＝－1＝1－2e2， 即e2≥＝sin2. 所以e≥sin ，当且仅当m＝n时等号成立，即P为短轴端点，又存在∠F1PF2＝120°，所以e≥sin 60°，所以≤e＜1. 注意：椭圆焦点△PF1F2中，∠F1PF2＝θ，当P为短轴端点时，θ最大，且椭圆离心率e≥sin ，S△PF1F2＝b2tan . 1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°．因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，则e＝＝·＝.故选A．] 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C．＋1 D．－1 C　[如图所示，因为两条曲线交点的连线过点F，所以两条曲线交点为，代入双曲线方程得－＝1，又＝c，所以－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，所以e4－6e2＋1＝0，又e＞1，所以e2＝3＋2＝(1＋)2，所以e＝＋1.故选C．] 学生用书第104页 3．已知直线m：y＝kx＋1过椭圆＋＝1(0＜b＜a)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝1截得的弦长为l，若l≥，则椭圆离心率e的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[圆x2＋y2＝1的圆心到直线m：y＝kx＋1的距离为d＝，因为直线m：y＝kx＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长l≥， 所以2≥，即2≥，解得d2≤，所以≤. 又因为直线m过椭圆的上顶点B和左焦点F，所以b＝1且c＝＝，即a2＝1＋，则e2＝＝＝≤，得e∈.故选A．] 4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)