第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

3．3.2　抛物线的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握抛物线的几何性质．　2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 知识点一　抛物线的简单几何性质 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p＞0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示：　1.范围：当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 2．对称性：观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)． 4．离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1. 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 学生用书第100页 [微提醒]　(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解析：　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，所以设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，所以p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 方法技巧 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 即时练1.边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C．] 知识点二　直线与抛物线的位置关系 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示：　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． [微提醒]　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 解析：　联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 所以直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C只有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k＞1时，l与C没有公共点． 方法技巧 　　判断直线与抛物