第三章 3.3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

3．3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 [学习目标]　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念．　2.会求简单的抛物线方程． 知识点一　抛物线的定义 请回答以下问题： 1．同学们对抛物线有哪些认识？ 提示：　在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 2．在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示：　它的对称轴垂直于x轴，开口向上或向下． 抛物线的定义 (1)定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． (2)焦点：点F叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l叫做抛物线的准线． [微提醒]　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 A　[设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A，因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切， 所以|CA|＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以|CA|＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A．] 学生用书第97页 方法技巧 　　利用抛物线的定义处理与之相关的轨迹或轨迹方程问题，处理过程中要注意定点是否在定直线上． 即时练1.已知实数x，y满足 ＝，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　) A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 C　[因为＝|y＋|表示动点P(x，y)到定点F的距离与P(x，y)到定直线l：y＝－的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点P(x，y)的轨迹为抛物线．故A，B，D错误．故选C.] 知识点二　抛物线的标准方程 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示：　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－.设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为，所以 ＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0)． 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝2py(p＞0) y＝－ x2＝－2py(p＞0) y＝ [微提醒]　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． (3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离． (4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2，0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为. 解析：　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2， 所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x. (2)因为焦点在y轴正半轴上，且＝1， 所以p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y. (3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，所以m＝或n＝.所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y. (4)由焦点到准线的距离为，可知p＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y. 方法技巧 　　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)． 即时练2.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解析：　(1)法一：因为点(3，－4)在第四象限， 所以设抛物线的标准方程为y2＝