第三章 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 [学习目标]　1.理解直线与双曲线的位置关系．　2.会求解有关弦长问题． 知识点　直线与双曲线的位置关系 类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示：　有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况． 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． [微提醒]　直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，求满足条件的实数k的取值范围． 解析：　联立 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得－＜k＜且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． [变式探究]　(变条件)若直线l与双曲线有且只有一个公共点，求满足条件的实数k的取值范围． 解析：　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． 方法技巧 1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． 2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 即时练1.已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. 解析：　①当直线l的斜率不存在时， l：x＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0，即k＝±2时， l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点． 学生用书第95页 应用一　弦长公式及中点弦问题 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，且离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)作经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|. 解析：　(1)因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，离心率为，所以结合c2＝a2＋b2，解得 所以双曲线的方程为－＝1. (2)由(1)知双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)．则经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)，由消去y得5x2＋6x－27＝0，Δ＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|AB|＝ ·|x1－x2| ＝× ＝. 方法技巧 　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 即时练2.已知双曲线的方程为x2－＝1. 试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 解析：　法一：设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0，解得k＜.设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.因为点B(1，1)是弦的中点，所以＝1，所以k＝2＞. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦． 法二：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以kMN＝＝2， 所以直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由消去y，得