第三章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

3．2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握双曲线的简单几何性质．　2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 知识点　双曲线的简单几何性质 类比对椭圆几何性质的研究，我们可以从哪些角度探究双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的几何性质？ 提示：　1.范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a或x≤－a，y∈R. 2．对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点：(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个．(2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率：(1)定义：e＝.(2)e的范围：e＞1.(3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和 虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，实轴长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，虚轴长＝2b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x． [微提醒]　(1)对于双曲线－＝1： ①范围：说明双曲线位于直线x＝－a及其左侧和直线x＝a及其右侧的区域． ②顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)． ③离心率：e是表示双曲线的焦距与实轴长的比值．也可用e＝，e越大，双曲线“张口”越开阔． ④渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线都是－＝0. (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ＜0时，双曲线的焦点在y轴上． 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解析：　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 学生用书第92页 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 解析：　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为e＝， 所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝. 由题意得解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.② ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.所以所求双曲线的标准方程为－＝1. [变式探究]　(变条件)若将本例1－1中的双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(