第二章 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离公式 [学习目标]　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　2.探索并掌握平面上两点间的距离公式． 知识点一　两条直线的交点坐标 　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解． 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解． 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． [微提醒]　方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)直线l1：5x＋4y－2＝0，直线l2：2x＋y＋2＝0； (2)直线l1：2x－6y＋3＝0，直线l2：y＝x＋； (3)直线l1：2x－6y＝0，直线l2：y＝x＋. 解析：　(1)两直线方程组成方程组解得 所以直线l1与l2相交，且交点坐标为. (2)两直线方程组成方程组 ②×6整理得2x－6y＋3＝0. 因此，①和②表示同一条直线，l1与l2重合，有无数交点． (3)两直线方程组成方程组 ②×6－①，得3＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. 方法技巧 两条直线相交的判定方法 1．联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 2．两直线斜率都存在且斜率不等． 3．两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 即时练1.分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解析：　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)解方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 学生用书第54页 知识点二　两点间的距离公式 请回答以下问题： 1．在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：　|AB|＝|xA－xB|. 2．已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 提示：　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中， |P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2| ＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． [微提醒]　(1)两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即上述公式也可写成|P1P2|＝. (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. [记结论]　当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解析：　法一： 因为|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，所以kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， 所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形． 方法技巧 平面上两点间的距离公式的应用类型 1．已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解． 2．利用