第二章 2.2.3 直线的一般式方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1.掌握直线的一般式方程．　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点　直线的一般式方程 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示：　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 1．直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 一般式方程系数的几何意义： (1)当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；(2)当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 [微提醒]　(1)方程是关于x，y的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． (3)x的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． [记结论]　当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 解析：　(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0. (3)由两点式得＝，即2x＋y－3＝0. (4)由截距式得直线方程为＋＝1，即x＋3y＋3＝0. 方法技巧 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 学生用书第51页 即时练1.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为____________； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为____________； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________． 答案：　(1)x＋2y＋4＝0　(2)2x－y－3＝0 (3)x＋y－1＝0 应用一　与含参数的一般式方程有关的问题 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解析：　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，所以直线l的斜率为a，且过定点，而点在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.因为上式对任意的a总成立，必有即即l过定点.以下同法一． (2)设A，则直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，所以a的取值范围为[3，＋∞)． [变式探究] 1．(变条件)本例中若直线不经过第四象限，试求a的取值范围． 解析：　由本例(2)可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有0≤a≤3.所以a的取值范围为[0，3]． 2．(变条件)本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解析：　①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得所以a＞1.综上可知a的取值范围为[1，＋∞)． 方法技巧 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 即时练2.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解析：　(1)令y＝0，则x＝， 所以＝－3， 得m＝－或m＝3(舍去)．所以m＝－. (2)由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋，则＝1， 得m＝－2或m＝－1