第二章 2.2.2 直线的两点式方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．　2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 知识点一　直线的两点式方程 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　＝. 两点式 条件 经过两点P1(x1，y1) 和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 图形 方程 ＝ 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 [微提醒]　(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 已知在△ABC中，A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解析：　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M ， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 学生用书第48页 [变式探究] (变条件)若M，N分别是AB，AC的中点，试求直线MN的方程． 解析：　由中点坐标公式解得M，N的坐标分别为M(1，－1)，N，由两点式得＝，即直线MN的方程为2x＋5y＋3＝0. 方法技巧 已知两点求直线方程的方法(思路) 1．已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得． 2．若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论． 3．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． 即时练1.已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程． 解析：　因为A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，所以直线AB与x轴垂直，故AB边所在直线的方程为x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)， 可得直线AC的两点式方程为＝，即x－y－3＝0. 故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0. 同理得直线BC的两点式方程为＝，即x＋2y－6＝0. 故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0. 知识点二　直线的截距式方程 　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　＋＝1 截距式 条件 在x轴上截距为a，在y轴上截距为b(a≠0，b≠0) 图形 方程 ＋＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 [微提醒]　(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (4)过原点的直线的横、纵截距都为零． 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解析：　①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0； ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. [变式探究] 1．(变条件)若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？ 解析：　①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点A(－3，－4)，所以＋＝1，解得a＝1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0； ②当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝.所以直线l的方程为4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 2．(变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解析：　①当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0