第二章 2.2.1 直线的点斜式方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．　2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．　3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 知识点一　直线的点斜式方程 　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示：　y－y0＝k(x－x0) 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 [微提醒]　(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)点斜式方程中的点只要是这条直线上的点，哪一个都可以． [记结论]　当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4)． 解析：　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)因为直线与y轴平行，所以斜率不存在，所以直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)因为直线过点D(2，1)和E(3，－4)，所以斜率k＝＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 方法技巧 求直线的点斜式方程的思路 [注意]　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程． 即时练1.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解析：　(1)因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为30°． 所以所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 学生用书第45页 知识点二　直线的斜截式方程 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，你能否得出直线l的方程呢？ 提示：　y＝kx＋b. 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 [微提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率k＝2，纵截距为－1. 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解析：　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程． 解析：　设l：y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝b.由题意，得·|b|·＝6，所以b2＝16，所以b＝±4.故直线l的方程为y＝－x±4. [变式探究] 1．(变条件)若本例2－2中“斜率为－”改为“在y轴上的截距为3”，其余条件不变，求直线l的方程． 解析：　由题意，直线l的斜率存在，且不为0， 设l的方程为y＝kx＋3， 当y＝0时，x＝－. 所以S＝··3＝6，所以|k|＝，所以k＝±，l的方程为y＝±x＋3. 2．(变条件)若本例2－2中“三角形面积为6”改为“三角形周长为6”，其余条件不变，求直线l的方程． 解析：　设直线l：y＝－x＋b，与x轴交点为，所以＋|b|＋ ＝6. 所以 |b|＝2，所以b＝±2.l的方程为y＝－x±2. 学生用书第46页 方法技巧 求直线的斜截式方程的策略 1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前