第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直．　3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 知识点一　两条直线(不重合)平行的判定 请回答以下问题： 1．在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 2．平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：　两直线平行，倾斜角相等． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜 率都不存在 图示 [微提醒]　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论． (2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： 　①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在． 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)． 解析：　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2.又kAM＝＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. [变式探究] (变条件、变设问)已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________. 解析：　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 答案：　0或1 方法技巧 判断两条直线是否平行的步骤 即时练1.已知直线l1过点A(m，1)，B(－3，4)，直线l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝右右右　. 解析：　因为l1∥l2，且k2＝＝－1，所以k1＝＝－1.所以m＝0. 答案：　0 学生用书第42页 知识点二　两条直线垂直的判定 　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：　k1·k2＝－1. 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都 存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2 的斜率为0⇒l1⊥l2 [微提醒]　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解析：　由题意可知，△ABC的三边所在直线斜率均存在， 若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1， 即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 判定两直线垂直的步骤 1．一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． 2．二代：将点的坐标代入斜率公式． 3．求值：计算斜率的值，进行判断． [注意]　若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 方法技巧 即时练2.判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－10，l2经过点