第二章 2.1.1 倾斜角与斜率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

　　　　[教师用书]　数学·选择性必修　第一册 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素．　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．　3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 知识点一　直线的倾斜角 请回答以下问题： 1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°． [微提醒]　(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． (1)如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－45° C．α－135° D．135°－α 解析：　(1)根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B． (2)如图①所示，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°.故选AC． 答案：　(1)B　(2)AC 方法技巧 求直线倾斜角的关键及两点注意 1．关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． 2．注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．　　 学生用书第38页 即时练1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 解析：　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°． 　(1)　　　　　　(2) ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°． 答案：　60°或120° 即时练2.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°． 答案：　135° 知识点二　直线的斜率 　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示：　(1)tan α＝＝. (2)tan α＝＝1－. (3)tan α＝. 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α． 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 3．直线的方向向量 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [微提醒]　(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 若点A(2，3)，B(4，5)，C(－2，3)，O为坐标原点，则直线AB的斜率为________，倾斜角为_____， 直线AC的斜率为________，倾斜角为______，直线O