第二章 2.5.2 圆与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.5.2　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.了解圆与圆的位置关系．　2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法．　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点　圆与圆的位置关系 观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ (1)圆与圆之间有几种位置关系？ (2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 提示：　(1)5种； (2)可以，可以借助圆的方程通过代数法和几何法两种途径判断． 圆与圆的位置关系 (1)种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2)判定方法 ①几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d＜|r1－r2| ②代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的组数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 [微提醒]　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． [记结论]　(1)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦． (2)当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线． (3)当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线． 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解析：　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 学生用书第72页 方法技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 1．几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． 2．代数法：将两圆的方程联立成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 即时练1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解析：　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或＞5， 即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离． 应用一　两圆相切问题 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解析：　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. [变式探究] (变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解析：　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 方法技巧 处理两圆相切问题的2个步骤 即时练2.圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，