第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．　2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．　3.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．　4.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点　直线与圆的位置关系 　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示：　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，进行判断． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 学生用书第68页 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解析：　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. (1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法技巧 判断直线与圆的位置关系的方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断． 2．代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断． 3．点与圆的位置关系法：若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交． 即时练1.已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过点P的直线的斜率为多少时，这条直线与已知圆：①相切；②相交；③相离？ 解析：　点P在圆外，设过点P的直线的斜率为k(由已知条件知k存在)，则其方程为y＝k(x－4)．圆心坐标为(0，0)，圆的半径r＝＝2. 设圆心(0，0)到该直线的距离为d， 则d＝＝ . ①令d＝r，即＝2，得k2＝1，即k＝±1， 所以当k＝±1时，直线与圆相切． ②令d＜r，即＜2，得k2＜1，即－1＜k＜1，所以当－1＜k＜1时，直线与圆相交． ③令d＞r，即＞2，得k2＞1，即k＜－1或k＞1，所以当k＜－1或k＞1时，直线与圆相离． 应用一　弦长问题 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解析：　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝. 点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，l＝2＝，所以截得的弦长为. 法二：设直线l与圆C交于A，B两点． 由得交点A(1，3)，B(2，0)， 所以弦AB的长为|AB|＝＝. [变式探究] (变条件、变设问)若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为”，求该直线的方程． 解析：　由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离d＝＝ ＝. 又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)， 所以d＝＝，解得k＝－3或k＝， 所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)， 即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0. 求弦长的常用方法 1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题． 2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝. 方法技巧 即时练2.如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 解析：　圆x2＋y2＝25的半径长为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝＝＝3. 因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－