第二章 2.4.2 圆的一般方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 [学习目标]　1.掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点　圆的一般方程 请回答以下问题： 1．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示：　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心， 以为半径的圆 [微提醒]　(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0. 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解析：　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4(1－5m)＞0， 解得m＜，故实数m的取值范围为. 圆心坐标为(－m，1)，半径为. 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，求圆C的方程． 解析：　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得 在圆C的方程中令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 则x1＋x2＝－D，x1x2＝F， 由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 得D2－4F＝36，④ 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故圆C的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. [变式探究] (变条件)将本例中“在x轴上截得的弦长等于6”改为“圆心在x轴上”，其余条件不变．求圆C的方程． 解析：　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 由题意得所以 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－16＝0. 学生用书第66页 方法技巧 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成标准方程形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆． 2．待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 即时练1.若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为__________． 解析：　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，可化为＋＝， 故圆心坐标为，半径为. 答案：　， 即时练2.已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． 解析：　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 因为圆经过点(4，2)和(－2，－6)， 所以 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 与圆有关的轨迹问题 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解析：　(1)设线段AP的中点M(x，y)(x≠2)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)． (2)设线段PQ的中