第二章 2.4.1 圆的标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2.4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 [学习目标]　1.掌握圆的定义及标准方程．　2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 知识点一　圆的标准方程 请回答以下问题： 1．圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2．已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：　设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：圆心和半径，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以坐标原点为圆心，半径为r的圆． [微提醒]　(1)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (2)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． [记结论]　当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． 求下列圆的标准方程． (1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 解析：　(1)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，所以b＝0或b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x＋y－2＝0上，所以可设点C的坐标为(a，2－a)．又因为该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|.所以＝，解得a＝1. 所以圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由解得即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [变式探究] (变条件)本例(2)改为求经过点A(1，－1)，B(－1，1)的面积最小的圆的标准方程，如何求解？ 解析：　当AB为圆的直径时，半径最小，从而圆的面积最小．此时圆心C(0，0)，半径r＝|AB|＝ ＝，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝2. 学生用书第63页 方法技巧 1．直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 2．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 即时练1.求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 解析：　法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二：(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心， 所以由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 知识点二　点与圆的位置关系 　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？ 提示：　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝ . 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 已知圆心是点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 解析：　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝＝2＜5， 所以P1(－1，0)在圆内； 因为|P2C|＝＝5， 所以P2(1，－1)在