第二章 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标]　1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．　2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离． 知识点一　点到直线的距离公式 请回答以下问题： 1．如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示：　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长， 如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，所以l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，解得交点 Q， 所以|PQ|＝. 2．上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？ 提示：　推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂． 3．向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？ 提示：　可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量． (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)． (2)在直线l上任取点M(x，y)，P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0)． (3)|PQ|＝||＝|·n|＝. 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d＝ [微提醒]　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式． (2)分子含有绝对值． (3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的． (4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值． [记结论]　点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. 解析：　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 方法技巧 点到直线的距离的求解方法 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． 2．若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可． 即时练1.已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________． 解析：　由＝，得|3m＋5|＝|m－7|，所以m＝－6或m＝. 答案：　－6或 学生用书第58页 知识点二　两条平行直线间的距离 请回答以下问题： 1．已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 2．怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即d＝，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝. 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ [微提醒]　(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能运用公式． (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解析：　(1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，所以d＝＝＝. (2)设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即|C－4|＝|C＋2|, 解得C＝1. 故直线