第一章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 [学习目标]　1.理解空间直角坐标系的有关概念．　2.掌握空间向量的坐标运算规律．　3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直． 知识点一　空间直角坐标系 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法．”我们应该如何理解这段话？ 提示：吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 学生用书第15页2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． [微提醒]　(1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． [记结论]　(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a＝(x，0，0)(x∈R)； (2)当向量a平行于y轴时，横坐标、竖坐标都为0，即a＝(0，y，0)(y∈R)； (3)当向量a平行于z轴时，横坐标、纵坐标都为0，即a＝(0，0，z)(z∈R)； (4)当向量a平行于Oxy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y，0)(x，y∈R)； (5)当向量a平行于Oyz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)(y，z∈R)； (6)当向量a平行于Oxz平面时，纵坐标为0，即a＝(x，0，z)(x，z∈R)． 在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，建立适当的坐标系． (1)写出E，F，G，H的坐标； (2)写出向量，的坐标． 解析：　(1)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.过F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM＝，FN＝， 故F点坐标为.点G在y轴上，其x、z坐标均为0， 又GD＝，故G点坐标为. 过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点， 故HK＝，CK＝，所以DK＝， 故H点坐标为. (2)＝－＝， ＝－＝. 方法技巧 建系确定点的坐标的原则 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标．　　 即时练1.在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Oxz平面对称的点的坐标是(　　) A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1) C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1) A　[过点P向Oxz平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与其关于Oxz平面对称的点P′连线的中点．又N(4，0，－1)，所以P′(4，－3，－1)．故选A.] 即时练2.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，A1C，如图，建立空间直角坐标系．则的坐标为___