第一章 1.2 空间向量基本定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 [学习目标]　1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用．　2.掌握空间向量的正交分解．　3.会用基底表示空间向量．　4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 知识点　空间向量基本定理 请回答以下问题： 1．如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ 提示：如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk.在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 2．你能证明唯一性吗？ 提示：假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底 (1)定义：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． (2)性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3．正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [微提醒]　(1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 解析：　假设，，共面． 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， 因为e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解， 所以，，不共面， 所以{，，}可以作为空间的一个基底． 学生用书第12页 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解析：　＝＋ ＝＋(＋)＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋＋ ＝(a＋b＋c)． 连接A′N(图略)． ＝＋＝＋(＋) ＝＋(＋) ＝a＋b＋c. [变式探究] (变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解析：　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 所以＝(＋)＝a＋b. ＝(＋) ＝(＋＋) ＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋－ ＝b＋a－c. 方法技巧 1．基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 2．用基底表示向量时的注意点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行表示． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 即时练1.若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？ 解析：　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.因为{a，b，c}为空间的一个基底，所以a，b，c不共面．所以此方程组无解．所以a＋b，b＋c，c＋a不共面．所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为该空间的一个