第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　 1.了解空间向量的夹角．　 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 知识点一　空间向量的夹角 我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b [微提醒]　因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解析：　连接BD(图略)， 则在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D′AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°， 〈，〉＝〈，〉＝90°. 方法技巧 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．　　 即时练1.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角： (1)〈，〉； (2)〈，〉； (3)〈，〉． 解析：　(1)因为＝，所以〈，〉＝〈，〉． 又因为∠CAB＝45°，所以〈，〉＝45°. (2)〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－45°＝135°. (3)〈，〉＝〈，〉＝90°. 知识点二　空间向量的数量积 我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 学生用书第8页 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 2．数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 3．数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2； |a|＝； |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影． (3)向量a在平面β上的投影 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [微提醒]　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． 解析：　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉