第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 [学习目标]　 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．　 3.掌握空间向量的线性运算．　 4.理解向量共线、向量共面的定义．　 5.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面． 知识点一　空间向量的有关概念 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：如题图1，游客的实际位移是，可以用平面向量的加法来表示这个过程．如题图2，他实际发生的位移是，可以用空间向量来表示这个位移． 1．与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 2．表示法 3．特殊向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 (平行 向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 [微提醒]　(1)空间向量是平面向量的推广，可以类比平面向量学习． (2)空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合． (3)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的．有向线段的起点A和终点B重合时，＝0. (4)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度．根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等． (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 学生用书第2页(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中任意两个单位向量必相等 解析：　(1)A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小．故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B、C. 答案：　(1)D　(2)BC 方法技巧 　　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．　　 即时练1.如图所示，以长方体ABCD -A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解析：　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个． (2)向量的相反向量为，，，. (3)||＝3. 知识点二　空间向量的线性运算 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 第一章　空间向量与立体几何　[教师用书] 1．空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行四 边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|