第一章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末综合提升 素养一　数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中的数学运算主要涉及以下内容：空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离． 体现一　 空间向量的线性运算 1．如图，已知在正方体ABCD -A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________． 解析：　由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)，从而有x＝1，y＝. 答案：　1　 体现二　空间向量的数量积运算 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 解析：　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. (1)||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，所以||＝. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， 所以||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 所以cos〈，〉＝＝＝. 学生用书第36页 体现三　空间角的计算 3．(2021·浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM； (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 解析：　(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点， 所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°， 易得CD⊥DM. 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM， 所以CD⊥平面PDM. 因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM. 又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM. (2)法一：由(1)知AB⊥平面PDM， 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角． 连接AM(图略)，因为PM⊥MD，PM⊥DC， 所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM. 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2， 所以由余弦定理得AM＝， 又PA＝，所以PM＝2， 所以PB＝PC＝2，所以PN＝， 连接BN，结合余弦定理得BN＝. 连接AC，则由余弦定理得AC＝， 在△PAC中，结合余弦定理得PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2， 所以AN＝. 所以在△ABN中，cos∠BAN＝＝＝. 设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝cos∠BAN＝. 法二：因为PM⊥MD，PM⊥DC， 所以PM⊥平面ABCD. 连接AM，则PM⊥AM. 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM＝， 又PA＝，所以PM＝2. 由(1)知CD⊥DM， 过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD. 故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(－，2，0)，P(0，0，2)，C(，－1，0)， 所以N， 所以＝. 易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0)． 设直线AN与平面PDM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 素养二　直观想象 　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．本章核心素养——直观想象主要涉及以下内容：利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间坐标系． 体现四　利用空间向量证明平行、垂直问题 4．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. 证明：　(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)． 因为M，N分别为AB，PC的中点， 所以M，N. 所以＝，＝(0，0，a)， ＝(0，a，0)， 所以＝＋， 所以，，共面． 又因为MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)由(1)可知＝(b，a，－a)， ＝，＝(0，a，－a)． 设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 所以令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 所以 令z