第一章 培优微课1 空间直角坐标系的构建策略-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

　　利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成．如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种策略． 策略一　利用共顶点且互相垂直的三条棱 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值． 解析：　(1)以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)， 所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)， 所以cos〈，〉＝＝， 又异面直线所成角的范围是， 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. (2)＝(0，2，0)是平面ABA1的一个法向量． 设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)， 所以即 取n＝(2，－2，1)． 设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈，n〉|＝＝，所以sin θ＝， 所以平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为. 策略二　利用面面垂直关系 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 解析：　(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， 所以A1E⊥平面ABC. 如图所示，以点E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，分别以射线EC，EA1的方向为y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Exyz. 不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)， B1(，3，2)，F，C(0，2，0)． 因此，＝，＝(－，1，0)． 由·＝0得EF⊥BC. (2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ. 由(1)可得＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)． 由得 可取n＝(1，，1)， 故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 所以cos θ＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为. 策略三　利用线面垂直关系 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 解析：　取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD， AE＝＝＝.所以AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知，A(0，0，0)，P(0，0，4)， M(0，2，0)，C(，2，0)，N， ＝(0，2，－4)，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即 可取n＝(0，2，1)． 于是|cos 〈n，〉|＝＝. 设AN与平面PMN所成的角为θ， 则sin θ＝，所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 学生用书第34页 策略四　利用底面的高及中心 已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 解析：　(1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E. 所以＝，＝， 所以cos〈，〉＝＝， 即cos∠DEB＝. (2)因为BE⊥VC，所以·＝0， 即·(－a，a，－h)＝0， 所以a2－－＝0，所以h＝a. 此时cos〈，〉＝＝－， 即cos∠DEB＝－. 1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求BA1与CB1夹角的余弦值； (3)求证：是平面C1MN的一个法向量． 解析：　(1)如图所示，以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， 所以||＝＝， 所