第一章 1.4.2 第2课时 夹角问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　夹角问题 [学习目标]　1.会用向量法求线线、线面、面面夹角．　2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．　3.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，如何利用这些条件求异面直线l1，l2所成的角θ？ 提示：cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 　　设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝． [微提醒]　不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝A1B1. (1)求向量，的坐标； (2)求BE1与DF1所成的角的余弦值． 解析：　(1)由题意可得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，故＝－(1，1，0)＝，＝－(0，0，0)＝. (2)由(1)可知，＝，＝，所以||＝ ＝，||＝ ＝，·＝0×0＋×＋1×1＝， 所以cos〈，〉＝＝＝，故BE1与DF1所成的角的余弦值为. 方法技巧 求异面直线所成的角的方法 1．传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． 2．向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 运用向量法常有两种途径： (1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos 〈a，b〉＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量． (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．　　 即时练1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________． 解析：　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1， 则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，＝(0，1，－2)，＝(－1，0，2)，|cos〈，〉|＝＝＝，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 答案：　 学生用书第30页 知识点二　直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，如何利用这些条件求直线AB与平面α所成的角θ？ 提示：sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 　　设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝． [微提醒]　(1)直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是. (2)若〈u，n〉是一个锐角，则θ＝－〈u，n〉；若〈u，n〉是一个钝角，则θ＝〈u，n〉－. (2020·新高考Ⅱ卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 解析：　(1)证明：过P在平面PAD内作直线l∥AD， 由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线， 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC， 又BC⊥CD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PDC， 因为l∥BC，所以l⊥平面PDC. (2) 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 因为PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝， 所以PB＝，QP＝1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，作PQ∥AD，则PQ为平面PAD与平面PBC的交线，即为l，因为QB＝，△QAB是等腰直角三角形，所以Q(1，0，1)， 则＝(1，0，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，0)， 设平面QCD的法向量为n＝(a，b，c)， 则所以取c＝1， 可得n＝(－1，0，1)， 所以cos〈n，〉＝＝＝－， 所以PB与平面QCD所成角的正弦值为. 方法技巧 求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形