第一章 1.4.2 第1课时 距离问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．　2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示：设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝. 　　如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝ ＝． [微提醒]　(1)点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． (2)两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离．所以两条平行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 解析：　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． 设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)． 所以||＝＝，||＝. ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， 所以在上的投影向量的模为＝.所以点A到直线EF的距离d＝＝ ＝. 方法技巧 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 1．建立空间直角坐标系． 2．求直线的方向向量． 3．计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影，向量的模． 4．利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 即时练1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离. 解析：　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 所以＝(3，0，－1)， ＝(－3，4，0)， 取a＝＝(3，0，－1)，u＝＝， 则a2＝10，a·u＝－，所以点P到BD的距离为＝ ＝. 学生用书第27页 知识点二　点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示：过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ＝. 　　设平面α的法向量为n，P綌α，A∈α，PQ⊥α，在直线l上的投影向量为，n是直线l的方向向量，则P点到平面α的距离PQ＝＝． [微提醒]　(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解析：　取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)． 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1，1)．又＝(0，0，2)，所以所求距离d＝＝. [变式探究] (变结论)若本例条件不变，且P是CD上的点，且DP＝PC，N是AD上的点且DN＝AN，求P到平面ABC的距离． 解析：　由＝＝， 所以PN∥AC，PN⊄平面ABC， 所以PN∥平面ABC， 所以PN到平面ABC的距离就是P到平面ABC的距离，因为AB⊥平面BCD， 所以平面ABC⊥平面BCD. 且平面ABC∩平面BCD＝BC， 取BC的中点Q，则DQ⊥BC， 所以DQ⊥平面ABC， 所以DQ是D到平面ABC的距离，所以DQ＝， 设P到平面ABC的距离为h， 所以＝＝，所以h＝. 方法技巧 用向量法求