第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线和平面．　2.理解直线的方向向量与平面的法向量．　3.会求直线的方向向量与平面的法向量．　4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．　5.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 请回答以下问题： 1．在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 提示：如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t.② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 (1)设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 3．空间平面的向量表示式 (1)取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 学生用书第19页 (2)性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． [微提醒]　空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD -A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 解析：　(1)因为A(0，y，3)和B(－1，2，z)，所以＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km，所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.所以y－z＝0. (2)因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，所以直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)，所以直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 答案：　(1)A　(2)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 方法技巧 理解直线方向向量的概念 1．直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． 2．直线的方向向量不唯一．　　 即时练1.(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) AB　[因为M，N在直线l上，且＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量．故选AB.] 即时练2.已知点P是过点A(0，1，1)且方向向量为v＝(1，0，0)的直线上的一点，若||＝3，则点P的坐标是________． 解析：　设P(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，因为∥v，所以＝λv，即 解得x＝λ，y＝z＝1，所以P(λ，1，1)， ||＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是(－3，1，1)或(3，1，1)． 答案：　(－3，1，1)或(3，1，1) 知识点二　平面的法向量 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 提示：下边线所在直线的方向向量与地面的法向量垂直． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{