第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 知识点一　直线和直线垂直 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直． 　　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. [微提醒]　(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. (2021·全国甲卷节选)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. 证明：BF⊥DE. 证明：　因为E，F分别是AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，所以CF＝1，BF＝. 如图所示，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于是AF＝＝3，所以AC＝＝2.由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz. 则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，＝(0，2，1)． 设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)， 于是＝(1－m，1，－2)． 所以·＝0，所以BF⊥DE. 学生用书第23页 　　 方法技巧 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．　　 即时练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． 求证：EF⊥DC. 证明：　以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)， 设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F， 所以＝，＝(0，a，0)， 因为·＝·(0，a，0)＝0， 所以EF⊥DC. 知识点二　直线与平面垂直 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行(共线)． 　　设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. [微提醒]　(1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (2)证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. 证明：　法一：设＝a，＝c，＝b， 则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－) ＝(－a＋b＋c)． 因为＝＋＝a＋b， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)． 所以·＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ·＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，所以⊥，⊥， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 法三：由法二得＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)． 设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)， 则·n＝0，·n＝0， 即 取x＝1，则y＝1，z＝－1， 所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n， 所以∥n，所以EF⊥平面B1AC. [变式探究] (变结论)若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1. 证明：　＝(0，2，2)，＝＝(2，2，0)， A1(2，0，2)，C(0，2