第三章 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 　 第 三 章 3.1　椭圆 学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用．　 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 课 时 精 练 知识点二　弦长及弦中点问题 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　点、直线与椭圆的位置关系 内 容 索 引 知识点一　点、直线与椭圆的位置关系 索引 1．类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？ 提示：将点的坐标带入椭圆的方程，看满足的不等关系． 2．类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数． 问题导思 1．点与椭圆的位置关系 新知形成 2．直线与椭圆的位置关系 当Δ＞0时，方程________，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程________，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程______，直线与椭圆相离． 有两解 有一解 无解 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 微提醒 (1)有两个不同的公共点； 例1 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (2)有且只有一个公共点； 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (3)没有公共点？ 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 判断直线与椭圆的位置关系的方法 方法技巧 即时练1.当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件： (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？ 整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＜0时，得m＜－5或m＞5，此时直线l与椭圆无公共点； (2)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (3)当Δ＞0时，得－5＜m＜5，此时直线l与椭圆有两个公共点． 索引 知识点二　弦长及弦中点问题 索引 请回答以下问题： 提示：利用弦长公式来解决，弦长公式在上一章里也学到过． 问题导思 1．弦长公式 新知形成 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 2.椭圆中点弦的斜率公式 椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 ，通径是最短的焦点弦． 记结论 例2 消去y可得x2－18＝0， 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. (2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由于P(4，2)是AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 即x＋2y－8＝0. (变条件、变设问)若本例中椭圆方程不变，一组直线的斜率都是 ，当它们与该椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段中点在同一条直线上． 设直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)， 变式探究 所以x＋2y＝0，点(0，0)适合方程． 故线段的中点在直线x＋2y＝0上． 1．直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离． (2)用弦长公式来求． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 方法技巧 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1或k2＝－2(舍去)，所以k＝±1. 索引 综　合　应　用 索引 应用一　最短距离问题 例3 并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0， 由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0， 得m2＝16，所以m＝±4， 　　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解． 方法技巧 即时练3.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 设与直线x－y＋4＝0平