第三章 3.1.1 椭圆及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.1.1　椭圆及其标准方程 　 第 三 章 3.1　椭圆 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义．　 2.掌握椭圆的标准方程的推导．　 3.会求简单的椭圆的标准方程． 课 时 精 练 知识点二　椭圆的标准方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　椭圆的定义 内 容 索 引 知识点一　椭圆的定义 索引 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 问题导思 椭圆的定义 (1)定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． (2)焦点：两个定点F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝____(常数)且2a____|F1F2|. 新知形成 常数 2a ＞ (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． 微提醒 2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 记结论 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 　　 (多选)下列说法中正确的是 A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 例1 √ √ 　　在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在． 因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件． 方法技巧 即时练1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，则下列说法中正确的是 A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ √ 对A，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；对BC，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，故B错误，C正确；对D，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC. 索引 知识点二　椭圆的标准方程 索引 请回答以下问题： 1．观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可 能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝ ， 问题导思 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 2．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ (a＞b＞0) 新知形成   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 1___________ ＝1___________ 图形 焦点坐标 ________________________ ________________________ a，b，c的关系 ____________ (a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 (1)椭圆上的点到