第三章 3.3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.3.1　抛物线及其标准方程 　 第 三 章 3.3　抛物线 学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念．　 2.会求简单的抛物线方程． 课 时 精 练 知识点二　抛物线的标准方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　抛物线的定义 内 容 索 引 知识点一　抛物线的定义 索引 请回答以下问题： 1．同学们对抛物线有哪些认识？ 提示：在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 2．在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示：它的对称轴垂直于x轴，开口向上或向下． 问题导思 抛物线的定义 (1)定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线． (2)焦点：______叫做抛物线的焦点． (3)准线：_______叫做抛物线的准线． 新知形成 相等 点F 直线l (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 微提醒 　　设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 例1 设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A，因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切， 所以|CA|＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以|CA|＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A． √ 　　利用抛物线的定义处理与之相关的轨迹或轨迹方程问题，处理过程中要注意定点是否在定直线上． 方法技巧 A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 √ 索引 知识点二　抛物线的标准方程 索引 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 问题导思 抛物线的标准方程 新知形成 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _______________ _______ _________ _________________ ________ _______ y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _______________ ________ _________ _________________ _______ _______ x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) (1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． (3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离． (4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 微提醒 　　　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2，0)； 例2 (2)准线为y＝－1； 因为焦点在y轴正半轴上，且 ＝1， 所以p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y. (3)过点A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为 . 所以所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y. 　　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)． 方法技巧 即时练2.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(3，－4)； 法一：因为点(3，－4)在第四象限， 法二：抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0)． (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 索引 综　合　应　用 索引 应用一　抛物线定义的应用 　　　(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程； 例3 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1.即动点