第三章 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 　 第 三 章 3.2　双曲线 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系．　 2.会求解有关弦长问题． 随堂演练 综合应用 知识点　直线与双曲线的位置关系 课时精练 内 容 索 引 知识点　直线与双曲线的位置关系 索引 类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况． 问题导思 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ＞0时，直线与双曲线有______不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有______公共点． (3)Δ＜0时，直线与双曲线______公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有______公共点． 新知形成 两个 一个 没有 一个 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 微提醒 　　　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，求满足条件的实数k的取值范围． 例1 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (变条件)若直线l与双曲线有且只有一个公共点，求满足条件的实数k的取值范围． 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 变式探究 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝± 或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． 1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． 2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 方法技巧 即时练1.已知双曲线x2－ ＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. ①当直线l的斜率不存在时， l：x＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0，即k＝±2时， l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝ . 综上，k＝ 或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点． 索引 综　合　应　用 索引 应用一　弦长公式及中点弦问题 (1)求双曲线的方程； 例2 (2)作经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|. 　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 方法技巧 即时练2.已知双曲线的方程为x2－ ＝1. 试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦． 法二：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 又Δ＝－8＜0，所以直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦． 应用二　直线与双曲线的综合问题 　　　设双曲线C： －y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； 例2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)． 　　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度． 方法技巧 即时练3.已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为 ( ，0)．(1)求双曲线C的方程； 索引 索引 1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为 A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k