第三章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 　 第 三 章 3.2　双曲线 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质．　 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 随堂演练 综合应用 知识点　双曲线的简单几何性质 课时精练 内 容 索 引 知识点　双曲线的简单几何性质 索引 问题导思 2．对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点：(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个．(2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．方程为x2－y2＝m(m≠0)． 1．双曲线的几何性质 新知形成 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 坐标轴 原点 A1(－a，0) A2(a，0) A1(0，－a) A2(0，a) (1，＋∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴______的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是________． 等长 y＝±x ①范围：说明双曲线位于直线x＝－a及其左侧和直线x＝a及其右侧的区域． ②顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)． 微提醒 ④渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． (2)等轴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为y＝±x.等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ＜0时，双曲线的焦点在y轴上． 微提醒 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 例1-1 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 例1-2 (2)渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－3)． 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. (变条件)若将本例1－1中的双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 变式探究 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 方法技巧 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． 方法技巧 (2)设双曲线方程的技巧 ③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 方法技巧 即时练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5； 即时练2.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为 ； 当所求双曲线的焦点在x轴上时， 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 索引 综　合　应　用 索引 双曲线的离心率 　　　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) 例2 √ 如图，因为|AO|＝|AF|， 故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞)． (2，＋∞) 求双曲线的离心率或其取值范围的思路 1．求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝ ，其中a＞0，b＞0. (2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝ 转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对所得解进行取舍． 方法技巧 2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和 ＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 方法技巧 √ 索引 索引 1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 √ 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为 √ √ 5．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：