第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

3.2.1　双曲线及其标准方程 　 第 三 章 3.2　双曲线 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．　 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 课 时 精 练 知识点二　双曲线的标准方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　双曲线的定义 内 容 索 引 知识点一　双曲线的定义 索引 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|－|PB||＜|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹． 问题导思 如图，在|PA|＋|PB|＞|F1F2|＞|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 提示：如题图，曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数． 双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0＜2a＜|F1F2|)． (3)焦点：两个定点__________． (4)焦距：__________的距离，表示为|F1F2|. 新知形成 绝对值 小于 F1，F2 两焦点间 (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 微提醒 　　如图，已知动圆M与两个定圆⊙O1和⊙O2分别外切(⊙O1、⊙O2外离)，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？ 例1 设圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，动圆M的半径为r，因为动圆M与两个定圆⊙O1和⊙O2分别外切，故|MO1|＝r＋R1，|MO2|＝r＋R2，若R1＝R2，则|MO1|＝|MO2|，故M的轨迹为O1O2的中垂线．若R1＞R2，则0＜|MO1|－|MO2|＝R1－R2＜|O1O2|，故M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的右支．若R2＞R1，则0＜|MO2|－|MO1|＝R2－R1＜|O1O2|，故M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支． 　　判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件． 方法技巧 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线 √ A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 √ 索引 知识点二　双曲线的标准方程 索引 请回答以下问题： 1．类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 问题导思 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)·x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 2．设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 双曲线的标准方程 新知形成   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 _______________________ _______________________ 图形 焦点 坐标 ________________________ ________________________ a，b，c 的关系 c2＝________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 (1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2、y2的系数异号． (2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求． 微提醒 　　　求适合下列条件的双曲线的标准方程： 例2 (变条件)若本例(1)中去掉条件“焦点在x轴上”，其余条件不变，求双曲线的标准方程． 设所求双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 变式探究 1．求双曲线标准方程的两个关注点 方法技巧 2．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程