第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

2.5.1　直线与圆的位置关系 　 第 二 章 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．　 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．　 3.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用．　 4.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 随堂演练 综合应用 知识点　直线与圆的位置关系 课时精练 内 容 索 引 知识点　直线与圆的位置关系 索引 　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示：转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，进行判断． 问题导思 新知形成 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ___个 ___个 ___个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ ______ ______ ______ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ  _______ _______ _______ 2 1 0 d＜r d＝r d＞r Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 　　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点． 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－ 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－ 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即－ ＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 例1 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 判断直线与圆的位置关系的方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断． 2．代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断． 3．点与圆的位置关系法：若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交． 方法技巧 即时练1.已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过点P的直线的斜率为多少时，这条直线与已知圆：①相切；②相交；③相离？ 索引 综　合　应　用 索引 应用一　弦长问题 　　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 例2 法二：设直线l与圆C交于A，B两点． (变条件、变设问)若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为 ”，求该直线的方程． 又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)， 变式探究 即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0. 求弦长的常用方法 1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系 ＋d2＝r2解题． 2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝ |x1－x2|＝ . 方法技巧 故直线的方程为3x＋4y＋15＝0. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0. 应用二　切线问题 　　若过点P(0，1)作直线l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相切，则切线长为________，直线l的方程为___________________． 例3 如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°． 而|CP|2＝32＋12＝10，|CQ|＝r＝1， 所以|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝10－1＝9， 则|PQ|＝3. 依题意斜率存在，可设直线l：y＝kx＋1， 即kx－y＋1＝0， 3 y＝1或3x＋4y－4＝0 1．求过已知点的圆的切线的方法 (1)如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． (2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． 方法技巧 2．求切线长最小值的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 方法技巧 即时练3.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切