第二章 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 　 第 二 章 2.3　直线的交点坐标与距离公式 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．　 2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离． 课 时 精 练 知识点二　两条平行直线间的距离 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　点到直线的距离公式 内 容 索 引 知识点一　点到直线的距离公式 索引 请回答以下问题： 1．如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长， 问题导思 2．上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？ 提示：推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂． 3．向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？ 新知形成   点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d＝______________ (1)利用公式时直线的方程必须是一般式． (2)分子含有绝对值． (3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的． (4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值． 微提醒 点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|； (4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 记结论 　　　求点P(3，－2)到下列直线的距离： 例1 (2)y＝6； 因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)x＝4. 因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 点到直线的距离的求解方法 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． 2．若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可． 方法技巧 即时练1.已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________． 变式探究 索引 知识点二　两条平行直线间的距离 索引 请回答以下问题： 1．已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0， y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 问题导思 2．怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 新知形成   两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能运用公式． 微提醒 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； 例2 (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 即|C－4|＝|C＋2|, 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. (变条件)在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为 的直线方程． 设所求直线的方程为2x－3y＋c＝0， 所以c＝－2或c＝10.故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 变式探究 求两条平行线间距离的方法 求两条平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式． (1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝ (2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时， d＝ .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 方法技巧 即时练2.(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离 为________； (2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为______________.