第二章 2.2.3 直线的一般式方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 　 第 二 章 2.2　直线的方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程．　 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．　 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 随堂演练 综合应用 知识点　直线的一般式方程 课时精练 内 容 索 引 知识点　直线的一般式方程 索引 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示：y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 问题导思 1．直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 一般式方程系数的几何意义： 新知形成 Ax＋By＋C＝0 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 (1)方程是关于x，y的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． (3)x的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． 微提醒 当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 记结论 　　　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是 ，且经过点A(5，3)； 例1 (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； 由斜截式得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0. (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 方法技巧 即时练1.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－ ，且经过点A(8，－6)的直线方程为____________； (2)在x轴和y轴上的截距分别是 和－3的直线方程为____________； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________． x＋2y＋4＝0 2x－y－3＝0 x＋y－1＝0 索引 综　合　应　用 索引 　　　应用一　与含参数的一般式方程有关的问题 　　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； 例2 (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 1．(变条件)本例中若直线不经过第四象限，试求a的取值范围． 由本例(2)可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有0≤a≤3.所以a的取值范围为[0，3]． 变式探究 2．(变条件)本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 例4 ①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 方法技巧 即时练2.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 由直线l化为斜截式方程得 得m＝－2或m＝－1(舍去)．所以m＝－2. 应用二　利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 　　(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程； 例3 法一：设直线l的斜率为k， 又因为l经过点(1，2)，可得所求直线方程为 1 法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0. 因为l经过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.所以所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. (2)已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0.若l1⊥l2，求a的值． 法二：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a. (变条件)若将本例(1)中的“平行”改为“垂直”，如何求解？ 变式探究 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1