2.2.3 直线的一般式方程 课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 方程名称 直线方程形式 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴 不垂直坐标轴且不经过原点 复习回顾 过点 与x 轴垂直的直线可表示成 ， 过点 与y 轴垂直的直线可表示成 . 上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？Ax + B y + C =0 以上情况都可以写成直线方程的一般形式：Ax+By+C=0, A、B不同时为0。 结论：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示． Ax+By+C=0 (A、B不同时为0) 由上可知：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 对于问题(2)，如果能把任意一个二元一次方程 (A，B不同时为0)化为直线的某种形式，那么它就表示一条直线. 当 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线； 当 ， 时，方程可变形为 ，它表示过点 ，垂直于x 轴的一条直线 思考 (2)任意一个关于x，y 的二元一次方程都表示一条直线吗？ O y 3 x 1 2 1 2 3 4 A B 结合例1，我们可以从几何角度看一个二元一次方程， 即一个二元一次方程表示一条直线． 练： 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由. (1) ， ； (2) ， . 2.两直线位置关系的判断 直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 试讨论： (1) l1∥l2 (2) l1⊥l2 A2≠0,B2≠0,C2≠0, 先观察斜率是否存在， 再看斜率是否相等， l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 例3 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值； (2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值． (1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2． 同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3． (2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2． 3.直线系方程 1)与直线l：Ax+By+C=0 平行的直线系方程为：Ax+By+m=0 (其中m≠C，m为待定系数) O x y Ax+By+C=0 只是常数不一样，其余相同 2)与直线l：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为：Bx-Ay+m=0 (m为待定系数) O x y Ax+By+C=0 例4 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线方程： (1)过点(-1,3)且与l平行；(2)过点(-1,3)且与l垂直． (1)设所求的直线方程为：3x+4y+m=0 把点(-1,3)代入方程，得 m=-9，方程为3x+4y-9=0 (2)设所求的直线方程为：4x-3y+n=0 把点(-1,3)代入方程，得 n=13，方程为4x-3y+13=0 与含参数的一般式方程有关的问题 直线过定点问题 例5 已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标． 方法一：令m＝－2，则方程变为－5y＋4＝0， 令m＝3，则方程变为5x＋4＝0， 方法二：将方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0. x＋y=0 2x－3y＋4＝0 1.直线 (1)若 . (2)若 . 2.与直线 平行的直线可设为 与直线 垂直的直线可设为 1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零） 2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 3.两条直线平行与垂直的判定.